มันส์ สมอง

หน้าที่ 1 - คำนำสำนักพิมพ์

ขอขอบคุณข้อมูลภายใต้ความร่วมมือระหว่าง บริษัท โพสต์ พับลิชชิ่ง จำกัด (มหาชน) และวิชาการดอทคอม

 

มันส์..สมอง
Professor Stewart's cabinet of mathematical curiosities

---

ตั้งแต่เริ่มเรียนอนุบาล ไล่มาจนถึงมัธยม จวบจนระดับอุดมศึกษาเราคุ้นเคยคณิตศาสตร์ในแง่มุมที่ว่า เต็มไปด้วยตัวเลขยุบยั่บ ชวนให้ปวดหัว และต่อให้คิดแทบตายก็นึกไม่ออกว่าจะเอาความรู้เหล่านี้ไปใช้ประโยชน์ได้อย่างไร เพราะรู้แค่บวก ลบ คูณ หาร ก็น่าจะเพียงพอสำหรับการใช้ในชีวิตประจำวันแล้ว

แต่ใครจะไปคิดล่ะว่าคณิตศาสตร์ที่เต็มไปด้วยสูตร สมการอันยุ่งเหยิง เช่น ลิมิต ฟังก์ชั่น ตรีโกณมิติ พีชคณิต ฯลฯ จะทำให้เรานั่งขบคิดด้วยความสนุกสนานจนหมดเวลา และลืมภาพเก่าๆ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ไปเลย หลังจากได้อ่าน Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities มันส์...สมอง เพิ่มรอยหยักด้วยรอยยิ้ม กับคณิตศาสตร์แสนสนุก หนังสือของศาสตราจารย์เอียน นิโคลัส สจ๊วต อาจารย์ประจำมหาวิทยาลัยวอริค ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เต็มไปด้วยความคิดสร้างสรรค์ และความกระตือรือร้นที่จะทำให้คณิตศาสตร์ง่ายสำหรับคนทั่วไป

           ก่อนหน้าที่จะเขียนหนังสือเล่มนี้ ศาสตราจารย์สจ๊วต มีงานเขียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์มาแล้วมากมาย และได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เขียนหนังสือได้เข้าใจง่าย และทำให้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องน่าค้นหา

           ในหนังสือเล่มนี้ศาสตราจารย์สจ๊วตเปิดคลังความรู้ที่สั่งสมมาชั่วชีวิต จากประสบการณ์การเรียนรู้นอกตำรา ที่ไม่มีสอนตามโรงเรียนทั่วๆไป พาผู้อ่านท่องเข้าไปในดินแดนแห่งตัวเลข และสารพันปัญหาลับสมอง ไม่ว่าจะเป็น ปริศนาจัตุรัสกล เงื่อนทอมทึ่ม วิธีการเรียงกระเบื้อง ไพ่สามเหลี่ยม เครื่องคิดเลขพิศวง กลเฉือนนิ้ว ฯลฯ นอกจากนี้ยังสอดแทรกเรื่องราวน่ารู้ของบรรดานักคณิตศาสตร์ชื่อดัง อาทิ พิธากอรัสล, เลออนฮาร์ด ออยเลอร์, ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์, คาร์ล ฟรีดดริค เกาส์, อองรี ปวงกาเร, พอล แอร์ดิช ทั้งยังบอกเล่าประวัติศาสตร์ของการค้นพบทางคณิตศาสตร์อันหลากหลาย เช่น ลำดับฟีโบนัชชี, สัดส่วนทอง ฯลฯ เรียกได้ว่า ครบถ้วนทั้งเนื่อหาสาระ และกลเม็ดกระตุ้นเซลล์สมอง

           นี่คือหนังสือที่จะปฏิวัติภาพของคณิตศาสตร์อันน่าเบื่อและเต็มไปด้วยเนื้อหาหนักๆ ให้กลายเป็นศาสตร์แห่งความสนุก ชวนให้ขบคิด และทำให้เซลล์สมองของเราทำงานมีประสิทธิภาพขึ้น โดยไม่ต้องพึ่งวิตามินเสริมยี่ห้อใดๆ

โพสต์บุ๊กส์

หน้าที่ 2 - คำนำผู้แปล

          คณิตศาสตร์ เป็นหนึ่งในวิชาโปรดของดิฉันมาตั้งแต่เด็ก (ไม่น่าแปลกใจหากคุณทราบว่าดิฉันเป็นวิศวกร) ส่วนหนึ่งต้องขอบพระคุณแด่อาจารย์ผู้สอนในวัยเยาว์ซึ่งทำให้วิชาที่สนุกสนานเป็นเหมือนเกมอันท้าทายลับสมองที่เด็กๆมุ่งมั่นจะเอาชนะให้ได้ เมื่อเติบโตขึ้นดิฉันจึงได้เรียนรู้ว่า คณิตศาสตร์ประกอบอยู่ในทุกภาคส่วนของชีวิตของเรา ตั้งแต่เรื่องเล็กน้อยและเรียบง่ายที่สุดเช่นการคำนวณค่าใช้จ่ายประจำวัน ไปถึงเครื่องใช้สอยอำนวยความสะดวกในบ้าน การต่อเติมครัวเรือน การลงทุน การวิเคราะห์ค่าดัชนีต่างๆ กระทั่งการคิดค้นทางวิทยาศาสตร์และการเสาะหาความลับของเอกภพ ทุกแขนงวิชาล้วนแต่มีคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานทั้งสิ้น

          หลายคนที่ไม่คุ้นเคยอาจคิดไปว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องเข้าใจยากน่าดีใจที่ศาสตราจารย์เอียน สจ๊วต แห่งมหาวิทยาลัยวอริค ซึ่งเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของโลก ได้เขียนหนังสือเล่มนี้ขึ้นในลักษณะที่อ่านง่าย สนุกสนาน มีทั้งเรื่องราวน่าอัศจรรย์การค้นพบคณิตศาสตร์สาขาต่างๆ และเกมคณิตศาสตร์ระดับยากง่ายต่างๆกันสำหรับประลองปัญญา แฝงด้วยเกร็ดความรู้ด้านประวัติศาสตร์และวรรณศิลป์ ซึ่งแสดงถึงภูมิรู้ของท่านผู้เขียนว่ากว้างขวางสมกับที่เป็นปราชญ์แห่งราชบัณฑิตยสมาคมของประเทศอังกฤษ หนังสือนี้จึงเหมาะสำหรับเป็นหนังสืออ่านนอกเวลาด้านคณิตศาสตร์อย่างยิ่ง หากเรามองการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ว่าเป็นการละเล่น ก็ทำให้เราใช้เวลากับการละเล่นนี้ได้อย่างไม่เบื่อหน่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดังที่ศาสตราจารย์สจ๊วตกล่าวไว้ว่า คณิตศาสตร์ที่ไม่ได้สอนในโรงเรียนนั้นล้วนแต่น่าสนุก คุณคงจะต้องลองสัมผัสความสนุกของคณิตศาสตร์นอกโรงเรียน ที่ศาสตราจารย์สจ๊วตกรุณารวบรวมและเรียบเรียงไว้ในเล่มนี้ แม้ตัวดิฉันเองในขณะที่แปลก็ยังอดไม่ได้ที่จะเล่นเกมตามไปด้วย เนื่องจากไม่อดทนต่อเสน่ห์เย้ายวนของเกมคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเหล่านี้ได้

          ลองเล่นดูสักหน่อยซิคะ แล้วคุณจะรู้ว่า คณิตศาสตร์...ง่ายนิดเดียว

ธิดา ธัญญประเสริฐกุล

ผู้แปล

หน้าที่ 3 - อ่านกันก่อน

ในโลกนี้มีคนอยู่ 2 พวก

พวกที่นับเลขเป็น

กับพวกที่นับไม่เป็น

          ผมเริ่มเขียนสมุดบันทึก ตังแต่ตอนอายุสิบสี่ เป็นสมุดบันทึกคณิตศาสตร์ แต่ก่อนที่คุณจะสมเพชผม ขอบอกก่อนว่าไม่ใช่สมุดจดวิชาเลขในโรงเรียนนะครับ แต่เป็นสมุดจดเรื่องน่าสนใจทุกอย่างเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้สอนกันในโรงเรียนต่างหากซึ่งพบว่ามันมีเยอะมากเสียด้วย เพราเพียงไม่นานผมก็ต้องซื้อสมุดจดเล่มใหม่

          โอเค ทีนี้คุณสมเพชผมได้แล้วล่ะ แต่ก่อนจะทำอย่างนั้น คุณสังเกตอะไรที่น่าเศร้าในเรื่องนี้หรือเปล่า คณิตศาสตร์ที่สอนกันในโรงเรียนน่ะมันแค่ส่วนเดียว ยิ่งกว่านั้นก็คือ คณิตศาสตร์ที่ไม่ได้สอนในโรงเรียนนั้นน่าสนใจ อันที่จริงคณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นเรื่องสนุกทั้งนั้น โดยเฉพาะเมื่อคุณไม่ต้องสอบให้ผ่านหรือต้องบวกเลขให้ถูก

          สมุดบันทึกเพิ่มขึ้นจึงกลายเป็นหกเล่ม ผมยังเก็บสมุดพวกนั้นไว้แถมยังมีแทรกแซงอยู่ตามตู้ตามแฟ้มหลังจากผมพบคุณวิเศษของเครื่องถ่ายเอกสาร มันส์...สมอง เป็นตัวอย่างหนึ่งจากตู้หนังสือของผม เป็นพวกเกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เกมตัวเลข ปริศนา และสิ่งละอันพันละน้อยที่ชวนสนเท่ห์ เรื่องส่วนใหญ่จบในตัว คุณสามารถเล่นเรื่องไหนเมื่อไรก็ได้ มีบางส่วนเป็นซีรีส์สั้นๆ แต่ผมค่อนข้างสิ่งละอันพันละน้อยมากกว่า ซึ่งเป็นแบบในหนังสือนี้แหละ

          เกมและปริศนาในเล่มนี้จะมีบางส่วนเป็นโจทย์เก่ายอดนิยมที่มักโผล่ให้เห็นซ้ำไปมาอยู่เสมอ แต่โผล่มาทีไรก็สร้างความตื่นเต้นได้ทุกทีอย่างเช่น เกมรถกับแพะ หรือปริศนาบอลสิบสองลูก ซึ่งเคยเป็นที่ฮือฮาในสื่อต่างๆ เกมหนึ่งดังในอเมริกา อีกเกมดังในอังกฤษ แต่เกมส่วนใหญ่จะเป็นเกมใหม่ที่ออกแบบมาสำหรับหนังสือเล่มนี้โดยเฉพาะ ผมพยายามจัดเกมให้หลากหลาย ดังนั้นจะมีปริศนาทางด้านตรรกะ ปริศนาเรขาคณิต ปริศนาตัวเลข ปริศนาความน่าจะเป็น ธรรมชาติชวนฉงนของคณิตศาสตร์เรื่องน่าทำ และเรื่องน่าสร้าง

          ข้อดีอย่างหนึ่งของการรู้เรื่องคณิตศาสตร์คือคุณสามารถโชว์เก๋าใส่เพื่อนคุณได้ (แต่ต้องทำแบบเสงี่ยมหงิมหน่อยนะครับผมขอเตือนไม่งั้นอาจกลายเป็นกวนโอ๊ยไปได้) เพื่อจะบรรลุเป้าหมายนี้อย่างงดงามคุณต้องทำตัวทันสมัยไม่ตกยุค ดังนั้นผมจะเขียนหมายเหตุสั้นๆ แทรกไว้ที่โน้นที่นี้แบบไม่เป็นทางการ เพื่อบอกถึงเหตุการณ์ล่าสุดที่เอาเกมนั้นไปเล่นในสื่อ อย่างเช่น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ จำรายการทีวีเมื่อเร็วๆนี้ได้ไหมครับ? หรือทฤษฎีบทสี่สี ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ทฤษฎีความยุ่งเหยิง แฟร็กทัล ศาสตร์เชิงซ้อนหรือรูปแบบเพนโทส อ้อ...ยังมีปริศนาบางข้อที่ยังไม่มีคำตอบ แสดงว่าคณิตศาสตร์นั้นยังไม่จบบางเกมก็เล่นได้เพลินๆ แต่บางเกมก็จริงจัง อย่างเกม P = NP? ที่มีเงินรางวัลให้ผู้ไขปริศนาถึง 1 ดอลลาร์ คุณอาจไม่เคยได้ยินโจทย์แบบนี้แต่เรื่องเงินรางวัลนี่สำคัญเทียว

          ยังมีเนื้อเรื่องกระชับอีกส่วนหนึ่งไม่ยาวนัก เล่าเรื่องข้อเท็จจริงและการค้นพบที่น่าสนใจในเรื่องที่ฟังดูคุ้นเคยแต่มีเสน่ห์ไม่รู้คลาย เช่น ค่าไพ จำนวนเฉพาะ ทฤษฎีพีธากอรัส ลำดับพีชคณิต และรูปแบบการเรียงตัว แถมด้วยเรื่องสนุกๆ ของนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงกับเกร็ดประวัติศาสตร์ที่ทำให้พวกเราต้องขำปนสงสารในข้อผิดพลาดอันน่ารักของพวกเขา

          เอาละ ผมได้บอกไปแล้วว่าคุณจะเล่นเกมไหนเมื่อไหร่ก็ได้ คุณทำได้เลยครับ เชื่อผมได้ แต่ด้วยความสัตย์จริงจากก้นบึ้งของหัวใจ ถ้าเริ่มตั้งแต่ต้นแล้วค่อยๆเล่นไปเรื่อยตามลำดับน่าจะดีกว่า เพราะบางเกมช่วงแรกจะช่วยคุณได้ในเกมหลังๆและเกมช่วงต้นยังง่ายกว่าด้วยเกมหลังๆนั้นออกจะ...แบบว่า...ท้าทายสักหน่อย ถึงอย่างนั้นผมก็พยายามกระจายเกมง่ายๆ ให้แทรกอยู่เป็นระยะตลอดเล่ม เพื่อคุณจะได้ไม่หนักสมองจนเกินไป

          ที่ผมพยายามอยู่นี้เพื่อกระตุ้นจินตนาการของคุณ โดยแสดงให้เห็นความสนุกสนานและเสน่ห์น่าทึ่งของคณิตศาสตร์ ผมอยากให้คุณๆสนุกกัน แต่ผมจะยิ่งดีใจมากขึ้นถ้า มันส์...สมอง ทำให้คุณ ตกหลุมรักคณิตศาสตร์ ได้รับประสบการณ์น่าตื่นเต้นของการค้นพบ และคอยติดตามข่าวการพัฒนาที่สำคัญซึ่งอาจเกิดขึ้นตั้งแต่สี่พันปีก่อน สัปดาห์ก่อนหรืออาจเป็นวันพรุ่งนี้

เอียน สจ๊วต

หน้าที่ 4 - เครื่องคิดเลขพิศวง

เครื่องคิดเลขของคุณเล่นกลได้

          (1)  ลองคูณตัวเลขพวกนี้ดูสิ คุณสังเกตเห็นอะไรบ้าง?

                  1 × 1

                 11 × 11

                 111 × 111

                 1,111 × 1,111

                 11,111 × 11,111

          หากคุณเพิ่มเลข 1 ขึ้นไปเรื่อยๆ จะยังคงได้รูปแบบอย่างนี้อยู่ต่อไปหรือไม่

          (2)  ใส่ตัวเลข

                 142,857

          (เก็บไว้ในหน่วยความจำของเครื่อง) แล้วคูณมันด้วยเลข 2, 3, 4, 5, 6, และ 7 สังเกตเห็นอะไรไหม?

เฉลย เครื่องคิดเลขพิศวง

                1 × 1 = 1

                11 × 11 = 121

                111 × 111 = 12,321

                1,111 × 1,111 = 1,234,321

                11,111 × 11,111 = 123,454,321

          ถ้าคุณรู้วิธีคูณเลข “แบบยาว” คุณจะเห็นว่าทำไมจึงเกิดรูปแบบที่น่าสะดุดตานี้ขึ้น ยกตัวอย่าง

                111 × 111 =

                11,100 +

                  1,110 +

                     111

          เราจะได้ค่า 1 ในหลักหน่วย ค่า 2 ในหลักสิบ ค่า 3 ในหลักร้อย จากนั้นค่าตัวเลขจะลดลงอีกครั้งเป็นค่า 2 ในหลักพัน และค่า 1 ในหลักหมื่น ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงเป็น 12,321

          รูปแบบจะดำเนินเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ แต่เครื่องคำนวณของคุณอาจมีหลักตัวเลขไม่พอก็ได้ หากที่จริงแล้ว

          111,111 × 111,111 = 12,345,654,321

          11,111,111 × 11,111,111 = 123,456,787,654,321

          111,111,111 × 111,111,111 = 1,234,567,898,765,432

          หลังจากนี้ไปแล้วรูปแบบตัวเลขจะเสียไป เพราะเลขตัวหลัก “มากเกิน” และจะรวน

        142,857 × 2 = 285,714

        142,857 × 3 = 428,571

        142,857 × 4 = 571,428

        142,857 × 5 = 714,285

        142,857 × 6 = 857,142

       142,857 × 7 = 999,999

          เมื่อเราคูณ 142,857 ด้วย 2, 4, 5 หรือ 6 ค่าที่ได้จะเป็นตัวเลขที่เรียงวนไปเป็นลำดับแบบเดียวกัน เพียงแต่เริ่มที่ตำแหน่งต่างกัน ค่า 999,999 ที่ได้นี้เป็นของแถม

          เลขพิศวงนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญโดยพื้นฐานแล้วมันเกิดขั้นเพราะว่าค่า 1/7 ในรูปแบบทศนิยมคือ 0.142857 142857...ซ้ำไม่รู้จบ

ไพ่ สามเหลี่ยม

          ผมมีไพ่อยู่ 15 ใบ หมายเลขเรียงกันตั้งแต่1 ถึง 15 ผมจะเรียงไพ่ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยวางไพ่สามใบบนเป็นหมายเลขดังต่อไปนี้

เฉลย ไพ่สามเหลี่ยม

ไพ่สามเหลี่ยมค่าต่าง 15 ใบ

ข้ามแม่น้ำ 1 -  ผลผลิตจากไร่นา

          อัลคูอินแห่งนอร์ธอัมเบรีย หรือ แฟลคคัส อัลบินัส อัลคูอินัส หรือเรียกง่ายๆ ว่า เอลห์ไวน์ เป็นบัณฑิต นักเทศน์ และกวี มีชีวิตอยู่ในคริสต์ศตวรรษที่แปดและก้าวขึ้นมาเป็นผู้มีบทบาทสำคัญ  ในราชสำนักของจักรพรรดิชาร์เลอมาญ เขาบรรจุปริศนานี้ไว้ในจดหมายฉบับหนึ่งซึ่งเขียนถึงองค์จักรพรรดิด้วย เป็นตัวอย่างของ “ความเฉียบคมแห่งเลขคณิต สำหรับพระสำราญ” เรื่องนี้ยังมีนัยสำคัญทางคณิตศาสตร์ด้วยซึ่งผมจะอธิบายต่อไป เรื่องมันเป็นอย่างนี้

          ชาวนาคนหนึ่งกำลังพาหมาป่าตัวหนึ่ง แพะตัวหนึ่ง และหัวผักกาดหนึ่งกระจาดไปตลาด เขามาถึงริมแม่น้ำซึ่งมีเรือน้อยผูกอยู่หนึ่งลำที่เล็กจนเขาสามารถนำสัตว์หรือกระจาดผักเพียงหนึ่งอย่างติดตัวไปด้วยในแต่ละคราวเท่านั้น เขาทิ้งหมาป่าไว้กับแพะไม่ได้ และจะทิ้งแพะไว้กับหัวผักกาดก็ไม่ได้ ดูก็รู้ว่าเกิดอะไรขึ้น โชคดีที่หมาป่าเกลียดหัวผักกาด แต่ชาวนาจะเอาของทั้งสามอย่างข้ามแม่น้ำไปได้อย่างไรล่ะ?

เฉลย ข้ามแม่น้ำ 1 – ผลผลิตจากไร่นา

          มีคำตอบที่เป็นไปได้สองแบบ

          แบบที่หนึ่ง เป็นดังนี้

          (1)    ชาวนาเอาแพะข้ามไปก่อน

          (2)    เขาข้ามกลับมาคนเดียว เอาหมาป่าข้ามแม่น้ำไป

          (3)    ส่งหมาป่าไว้อีกฝั่งแล้วเอาแพะข้ามกลับมาด้วย

          (4)    เอาแพะขึ้นฝั่ง แล้วเอาหัวผักกาดข้ามแม่น้ำไป ทิ้งหัวผักกาดไว้กับหมาป่า

          (5)    ข้ามกลับมาคนเดียว และเอาแพะข้ามไปเป็นรอบสุดท้าย

          ส่วนอีกวิธีหนึ่ง ให้สลับตำแหน่งหมาป่ากับหัวผักกาด จะได้ผลเหมือนเดิม

          ผมชอบแก้ปัญหานี้ด้วยเรขาคณิตโดยใช้แผนภาพ ช่องว่าง หมาป่า-แพะ-หัวผักกาด ซึ่งประกอบด้วยสัญลักษณ์สามตัวคือ (ม,พ,ห) สัญลักษณ์ แต่ละตัวจะมีค่าเป็น 0 (อยู่ฝั่งขะนี้ของแม่น้ำ) หรือ 1 (อยู่ฝั่งขะโน้น) ตัวอย่างเช่น (1,0,1) หมายถึง หมาป่ากับหัวผักกาดอยู่ฝั่งขะโน้นของแม่น้ำ ส่วนแพะอยู่ฝั่งขะนี้ ปริศนานี้ต้องการให้ตำแหน่ง (0,0,0) เปลี่ยนไปเป็น (1,1,1) โดยไม่มีตัวไหนโดนกินไปเสียก่อน เราไม่จำเป็นต้องคำนึงว่าแล้วชาวนาไปอยู่เลียที่ไหน เพราะยังไงเขาก็ต้องอยู่ในเรือตลอดตอนข้ามแม่น้ำอยู่แล้ว

ช่องว่างหมาป่า-แพะ-หัวผักกาด คราวนี้เห็นชัดเจนละ

หน้าที่ 5 - เครื่องคิดเลขพิศวง (กว่า)

ความพิศวงของเครื่องคำนวณดังต่อไปนี้แม้จะแตกต่างกัน แต่ก็เป็นหลักการเดียวกัน

(1)  กดตัวเลขสามหลัก เช่น 471 โดยใส่ซ้ำเป็น 471,471 แล้วหารมันด้วย 7 หารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 11 และหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 13 เราจะได้

                    471,471/7 = 67,353

                   67,353/11 = 6,123

                   6,123/13 = 471

          ซึ่งจะเป็นตัวเลขแรกที่คุณตั้งไว้

          ลองด้วยตัวเลขสามหลักอื่นๆ คุณจะได้ผลลัพธ์น่าตกใจแบบเดียวกันเปี๊ยบ

          คณิตศาสตร์ไม่ใช่แต่การสังเกตเห็นความพิศวงเท่านั้น สิ่งสำคัญคือการค้นหาดูว่า ทำไมมันจึงเกิดขึ้น ในกรณีนี้เราสามารถทำได้โดยลองคำนวณย้อนกระบวนการทั้งหมดด้วยผลลัพธ์ตัวเลขสามหลัก คือ 471 จากนั้น

                    471 × 13 = 6,123

                    6,123 × 11 = 67,353

                    67,353 × 7 = 471

          ที่เขียนมานี่ช่างไม่ช่วยอะไรซะเลย...แต่สิ่งที่บอกเราจริงๆนั้น คือ

                   471 × 13 × 11 × 7 = 471,471

          เป็นความคิดที่ดีถ้าจะหาดูว่า 13 × 11 × 7 คืออะไร เอาเครื่องคิดเลขมาทดลองดูสิ สังเกตเห็นอะไรไหม? มันอธิบายกลให้คุณทราบหรือยัง?

(2)  อีกสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชอบทำก็คือ “ทำให้เป็นสากล” ซึ่งก็คือการหาเค้าความสำพันธ์ที่ให้ผลลัพธ์ในทำนองเดียวกัน สมมติว่าเราเริ่มด้วยตัวเลขสี่หลัก เช่น 4,715 เราจะคูณด้วยอะไรดีจึงจะได้ผลลัพธ์ 47,154,715? เราจะสามารถแบ่งเป็นหลายๆขั้นตอน โดยการคูณด้วยชุดตัวเลขจำนวนน้อยๆหรือไม่?

          เริ่มด้วย หาร 47,154,715 ด้วย 4,175

(3)  หากเครื่องคิดเลขของคุณทำงานได้ถึงสิบหลัก (ปัจจุบันนี้หลายเครื่องทำได้แล้ว) จะสร้างกลแบบใดได้บ้างกับตัวเลขห้าหลัก?

(4)  ถ้าเครื่องคิดเลขของคุณแสดงตัวเลขได้อย่างน้อยสิบสองหลัก ลองกลับไปที่เลขสามหลักอย่าง 471 อีกครั้ง แต่คราวนี้ที่จะคูณด้วย 7, 11 และ 13 ลองคูณมันด้วย 7 ตามด้วย 11 ตามด้วย 13 ตามด้วย 101ตามด้วย 9,901ดูสิว่าเกิดอะไรขึ้น? ทำไม?

(5)  ลองดูเลขสามหลักอย่างเช่น 128 ครานี้คูณด้วย 3, 3, 3, 7, 11, 13 และ 37 แทนที่ (ถูกแล้ว คูณด้วย 3 สามหน) ผลลัพธ์ที่ได้คือ 127,999,872 ไม่มีอะไรพิเศษตรงนี้ แล้วจากนั้นบวกด้วยเลขแรกที่ตั้งไว้ คือ 128 ครานี้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

เฉลย เครื่องคิดเลขพิศวง (กว่า)

          (1)  13 × 11 × 17 = 1,001 นี่คือเหตุที่เกิดเลขกลขึ้น ถ้าคุณคูณตัวเลขสามหลัก abc ด้วย 1,001 ผลที่ได้ก็คือ abcabc ทำไมน่ะหรือ? ก็เพราะการคูณด้วย 1,000 ผลลัพธ์ที่ได้คือ abd000 แล้วคุณบวกด้วย abc ชุดสุดท้ายเข้าไป ก็คือ การคูณด้วย 1,001

          (2)  สำหรับเลขสี่หลัก ทุกอย่างก็เหมือนเดิม แต่เราคูณมันด้วย 10,001 ซึ่งสามารถทำได้ในสองขั้นตอน คือคูณด้วย 73 แล้วตามด้วย 137 เพราว่า 73 × 137 = 10,001

          (3)  สำหรับเลขห้าหลัก เราต้องคูณด้วย 100,001 ซึ่งสามารถทำได้ในสองขั้นตอน คือคูณด้วย 11 แล้วตามด้วย 9,091 เพราะว่า 11 × 9,091= 100,001 เป็นการดัดแปลงเล็กๆน้อยๆ สำหรับการเล่นกลในงานเลี้ยง

          (4)  จะได้ผลลัพธ์ 471,471,471,471 เลขสามหลักชุดเดิมซ้ำสี่รอบทำไมน่ะหรือ? เพราะว่า

                    7 × 11 × 13 × 101 × 9,901 = 1,001,001,001

          (5)  การบวกเลข 128 ตัวสุดท้ายเข้าไปทำให้ได้ผลลัพธ์ 128,000,000 หนึ่งล้านเท่าของชุดเดิม กลนี้ใช้ได้ผลกับเลขสามหลักทุกชุด และที่มันใช้ได้ผลก็เพราะว่า

                    3 × 3 × 3 × 7 × 11 × 13 × 37 = 999,999 

          เพิ่มอีก 1 เข้าไปก็เป็นหนึ่งล้าน

          คุณสามารถดัดแปลงกลเหล่านี้ไปใช้เป็นกลในงานเลี้ยงได้ เช่น กรณีกลทำเลข 471,471 สามารถนำเสนอออกมาในรูปแบบว่า นักมายากลที่ถูปิดตาขอให้ท่านผู้ชมเขียนเลขสามหลัก (เช่น 471) ลงบนกระดานหรือในกระดาษ แล้วให้ท่านที่สองเขียนเลขนั้นซ้ำอีกหน (471,471) ท่านที่สามให้ถือเครื่องคิดเลขไว้ แล้วหารเลขนั้นด้วย 13 (ได้ผลลัพธ์เป็น 36,237) ท่านที่สี่ให้หารผลลัพธ์ที่ได้นั่นด้วย 11 (ได้ผลลัพธ์เป็น 3,297) ขณะที่ดำเนินการอยู่นี้ นักมายากลก็ทำเป็นพูดวุ่นวายเกี่ยวกับว่าคงเป็นไปไม่ได้ที่เลขเหล่านั้นจะหารออกมาแล้วไม่เหลื่อค่าอะไรเลย จากนั้นเจ้าหล่อนก็ถามถึงผลลัพธ์ที่ได้ แล้วอึดใจต่อมาก็ประกาศออกมาว่าตัวเลขตั้งต้นนั้นคือ 471

          ที่เป็นเช่นนี้เพราะว่าหล่อนได้หารเลข 3,297 ด้วย 7 อยู่ในใจ แน่ละคุณทำเช่นนั้นได้หากคุณแม่นในสูตรคูณแม่เจ็ด

หน้าที่ 6 - เรื่องน่ารู้เล็กๆน้อยๆ ของพิธากอรัส & ดิจิตัลร้อยแต้ม

         เป็นที่ทราบกันดีว่าสามสิ่งอันดับพิธากอรัสสองชุดใดๆ สามารถร่วมกันก่อให้เกิดเป็นอีกชุดหนึ่ง ซึ่งที่จริงแล้ว ถ้า

                  a²  +  b²  =  c²

         และ

                  A²  +  B²  =  C²

         ดังนั้น

                  (aA – bB)²  +  (aB+ bA)²  =  (cC)²

         อย่างไรก็ตาม การรวมสามสิ่งอันดับอันดับพิธากอรัสโดยวิธีนี้ยังมีลักษณะเด่นที่รู้กันรองลงมา หากคุณมองว่านี้เป็น”การคูณ” สามสิ่งอันดับ เราจะสามารถระบุสามสิ่งอันดับที่เป็นจำนวนเฉพาะได้ถ้าผลคูณนั้นไม่ได้เกิดจากสามสิ่งอันดับสองชุดที่มีจำนวนน้อยกว่า ดังนั้นสามสิ่งพิธากอรัสทุกชุดก็คือผลคูณของสามสิ่งอันดับพิธากอรัสที่เป็นที่เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งแตกต่างกัน นอกจากนั้นแล้ว “การแยกตัวประกอบเฉพาะ” ของสามสิ่งอันดับก็ยังเป็นค่าเฉพาะตัวอย่างมาก เว้นแต่เพียงคุณลักษณะพิเศษเล็กน้อยบางประการซึ่งผมจะไม่ขอกล่าวถึงในที่นี้

         ดูเหมือนว่าสามสิ่งอันดับที่เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหลายนั้นก็คือสามสิ่งอันดับที่ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับจำนวนเฉพาะในรูปของ 4k + 1 และด้านที่เหลืออีกสองด้านต่างไม่ใช่ศูนย์ หรือมิฉะนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 2 หรือจำนวนเฉพาะในรูป 4k – 1 และด้านใดด้านหนึ่งที่เหลือมีค่าเป็น ศูนย์ (เรียกว่า สามสิ่งอันดับ “ถดถอย”)

         ยกตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ 3-4-5 นี่เป็นจำนวนเฉพาะ เช่นเดียวกับสามสิ่งอันดับ 5-12-13 เพราะว่าด่านตรงข้ามมุมฉากของทั้งคู่ต่างเป็นจำนวนเฉพาะ 4k + 1 สามสิ่งอันดับ 0-7-7 ก็เป็นจำนวนเฉพาะด้วยเช่นกัน ส่วนสามสิ่งอันดับ 33-56-65 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมันเป็น “ผลคูณ” ของสามสิ่งอันดับ 3-4-5 และสามสิ่งอันดับ 5-12-13

         แค่คิดว่าเผื่อคุณจะอยากรู้น่ะ

ดิจิตัลร้อยแต้ม

         ใส่สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เพียงสามตัวเท่านั้นระหว่างตัวเลขเหล่านี้

                  1 2 3 4 5 6 7 8 9

         แล้วทำให้ผลลัพธ์ เท่ากับ 100 โดยคุณใส่สัญลักษณ์เดียวกันซ้ำกันก็ได้ แต่ให้นับสัญลักษณ์ซ้ำนั้นเป็นหนึ่งในสามตัวด้วย และห้ามจัดย้ายตัวเลขใหม่

เฉลย ดิจิตัลร้อยแต้ม

                  123 – 45 - 67 + 89  =  100

         คำตอบนี้ค้นพบโดยนักคิดปริศนาชาวอังกฤษผู้ยิ่งใหญ่นามว่า เฮนรี เออร์เนสต์ ดู๊ดนีย์(Henry Ernest Dudeney) มีอยู่ในหนังสือของเขา ชิ่ Amustments in Mathematics ยังมีคำตอบแบบอื่นๆอีกมากมายหากคุณใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สักสี่ตัวหรือมากกว่านั้น