บทความวิชาการ.คอม

เลือกห้องหลัก: ทั่วไป | การบ้าน-แบบฝึกหัด | กิจกรรมพิเศษ | ครูอาจารย์ | คอมพิวเตอร์ | พักผ่อนหย่อนใจ | ภาษาต่างประเทศ | วิทยาศาสตร์ | สังคม-กฏหมาย-ศิลปะ-วัฒนธรรม | สุขภาพ | เทคโนโลยี | เรียนต่อ | เศรษฐศาสตร์ |

[บทวิเคราะห์] เด็กหนุ่มวัยชาวอินเดีย พิชิตปัญหา 350 ปี ของนิวตัน !!

Written by admin on . Posted in คณิตศาสตร์, ทั่วไป, วิทยาศาสตร์

สารบัญ
หน้า:1 เด็กหนุ่มวัยชาวอินเดีย พิชิตปัญหา 350 ปี ของนิวตัน !!
หน้า:2 ทำไมสมการนี้จึงได้รับความสนใจ?
หน้า:3 แนวคิดในการแก้สมการ



หน้าที่ 1 - เด็กหนุ่มวัยชาวอินเดีย พิชิตปัญหา 350 ปี ของนิวตัน !!

ชูเกียรติ ตันติวงศ์ , นิสิตภาควิชาฟิสิกส์
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

             เมื่อเร็วๆ นี้คงมีหลายคนคงได้รับทราบข่าวเกี่ยวกับการแก้ปัญหาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ของ นิวตัน [Sir Isaac Newton , 1642 – 1727] ที่ค้างคามากว่า 350 ปี โดย เรย์ [Shouryya Ray , 1996 –] เด็กหนุ่มชาวอินเดียวัย 16 ปี


             เรย์ เกิดที่เมืองโกลกาตา ประเทศอินเดีย และได้ย้ายมาศึกษาต่อที่เยอรมันในปี 2008 ด้วยความสามารถของเขาทำให้เขาได้รับการเลื่อนชั้นขึ้น 2 ปี และได้ศึกษาปัญหาที่ยากขึ้นสำหรับนักเรียนวัยเดียวกันด้วย
            ครั้งหนึ่งอาจารย์ของเขาเคยกล่าวถึงปัญหาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ของนิวตันที่ค้างคามาถึง 350 ปี ในมุมมองของเรย์ เขาเชื่อว่าปัญหานี้จะสามารถแก้ได้โดยอาศัยการวิเคราะห์ตรงๆ แทนที่จะใช้การประมาณหรือการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอย่างที่เคยมีมา
            ในปีนี้ เรย์ได้นำเสนอผลงานการแก้ปัญหาของเขาในงานนิทรรศการวิทยาศาสตร์เยาวชนของประเทศเยอรมัน [Jugend forscht] เขาได้เสนอการแก้ปัญหานี้โดยใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตรงๆ ใจความสำคัญของปัญหานี้ สรุปเป็นสำนวนง่ายๆ คือ



“...สำหรับวัตถุที่ถูกโยนออกไปในอากาศ โดยมีแรงต้านอากาศแปรตามกำลังสองของอัตราเร็ว โดยพิจารณารวมถึงแรงดึงดูดโลกซึ่งสม่ำเสมอ จะมีแนวทางการเคลื่อนที่เป็นแบบใด...”

            ความจริงเราน่าจะพอเดาได้ว่ารูปแบบของการเคลื่อนที่ที่มีแรงต้าน จะมีระยะทางที่เคลื่อนที่ในแนวระดับน้อยกว่ากรณีที่ไม่มีแรงต้าน เราน่าจะได้แนวทางการเคลื่อนที่ดังรูป
 
          

            และนั่นนำมาซึ่งปัญหาของเรา เราต้องการวิเคราะห์ว่ารูปสมการของเส้นโค้งนี้เป็นแบบใด การคำนวณนี้จะง่ายมากในกรณีที่แรงต้านอากาศแปรตามกำลังหนึ่งของอัตราเร็ว แต่ในกรณีนี้การวิเคราะห์จะทำได้ยากกว่ามาก แม้จะวิเคราะห์เพียงการโยนขึ้นไปในแนวดิ่ง ก็นับว่ายากแล้วสำหรับเด็กวัยเดียวกับเรย์

            คนที่ศึกษาฟิสิกส์พื้นฐานมาบ้างจะทราบว่า หากเรารู้สถานการณ์ตั้งต้นและเงื่อนไขทุกกรณีของระบบ ณ เวลาหนึ่ง เราจะสามารถคำนวณสถานการณ์ต่อๆ มาในเวลาต่อๆ มาได้ด้วย ในที่นี้ สมมติว่าเรารู้ค่าของอัตราเร็วต้นที่ยิงวัตถุออกไป รู้ค่าของมุมตั้งต้นที่ใช้ในการยิง รู้มวลและน้ำหนักของวัตถุ และรู้ว่าแรงต้านอากาศเป็นแบบใด เราจะสามารถคำนวณหาแนวทางการเคลื่อนที่ต่อๆ ไปของวัตถุได้ นั่นคือเส้นโค้งที่ว่านั้นจะต้องสามารถหาสมการได้อย่างแน่นอน ในกรณีนี้เราสามารถพิจารณาได้โดยใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันง่ายๆ เท่านั้น แต่ปัญหาต่อมาคือสมการที่ได้ เป็นสมการที่แก้ได้ยาก และถูกทิ้งไว้เป็นสมการที่แก้ไม่ออกจนถึงทุกวันนี้

            ด้วยแนวคิดข้างต้น เรย์เชื่อว่าเขาจะต้องแก้สมการดังกล่าวให้ได้ การแก้ปัญหานี้ได้แรงบันดาลใจมาจากความคิดง่ายๆ ทางฟิสิกส์ว่า “มันน่าจะมีคำตอบ” เขาพยายามแก้ปัญหาที่เขาได้รับมาอย่างถึงที่สุด และเขาทำมันได้สำเร็จ การแก้ปัญหานี้โดยการประมาณสัมประสิทธิ์การต้านของอากาศว่ามีค่าน้อยจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ยิ่งถ้าใช้การวิเคราะห์เชิงตัวเลขก็ยิ่งง่ายเข้าไปอีก อย่างไรก็ดี การหาผลเฉลยเชิงวิเคราะห์ (analytical solution) แบบ “เป๊ะๆ” แบบไม่ต้องประมาณ ถือเป็นความสำเร็จสูงสุดอย่างหนึ่งของนักฟิสิกส์



หน้าที่ 2 - ทำไมสมการนี้จึงได้รับความสนใจ?

             ต่อไปนี้เป็นความเห็นส่วนตัวของผู้เขียนบทความเอง หากผู้อ่านท่านใดที่ติดตามเหตุการณ์ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์มาบ้าง และลองอ่านแนวทางการคำนวณของเรย์ประกอบกันจะพบว่า การคำนวณของเรย์ง่ายมากเมื่อเทียบกับปัญหาระดับโลกอื่นๆ เช่นปัญหาที่มีอายุพอๆ กันอย่างทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา (เจ้าของฉายา “โจทย์ที่ยากที่สุดในโลก”) ซึ่งถูกแก้โดย ไวลส์ [Andrew Wiles , 1953 –] ไวลส์ใช้เวลาในการคลำทางอยู่นานถึง 8 ปี และบทพิสูจน์ก็ยังใช้คณิตศาสตร์ชั้นสูงซึ่งเข้าใจยากมาก เมื่อเทียบกับปัญหาของนิวตันและบทพิสูจน์ของเรย์แล้ว ถือว่าเป็นคนละระดับกันอย่างชัดเจน และถึงแม้จะเทียบกับปัญหาทางฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่มีการวิจัยกันอยู่ทุกวันนี้ ปัญหาข้อนี้ก็ถือว่าง่ายกว่ามากอยู่ดี
             แต่เพราะเหตุใดมันถึงได้ค้างคามากว่า 350 ปี ? ทำไมการแก้ปัญหาข้อนี้สำเร็จจึงกลายเป็นข่าวที่มีชื่อเสียง ? นั่นอาจเป็นเพราะปัญหาข้อนี้ “ไม่น่าสนใจ” เมื่อเทียบกับปัญหาอื่น และถึงแม้ว่าจะแก้ไม่ได้ ก็ไม่มีผลกระทบอะไรกับเรามากนัก เนื่องจากการวิเคราะห์เชิงตัวเลขก็ให้ผลที่น่าพอใจสำหรับกรณีที่เราจำเป็นต้องใช้ผลจากคำนวณจริงๆ มีปัญหาทางทฤษฎีหลายปัญหาที่ไม่สามารถแก้ได้โดยอาศัยการวิเคราะห์ตรงๆ ซึ่งก็อาจจะรวมถึงปัญหาข้อนี้ด้วยก็ได้ ดังนั้นจึงไม่ใช่เรื่องแปลกที่นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์มืออาชีพทั้งหลายจะมองข้ามมันไป ไม่เหมือนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา ที่นักคณิตศาสตร์บางคนยอมอุทิศทั้งชีวิตให้กับการแก้มัน

             ส่วนเหตุผลง่ายๆ ที่ทำให้เรย์มีชื่อเสียงจากการแก้ปัญหานี้ หลักๆ คืออายุของตัวเรย์เอง เป็นเรื่องน่าประหลาดสำหรับเด็กอายุ 16 ปี ที่สามารถใช้คณิตศาสตร์ระดับสูง (อย่างน้อยที่สุด เมื่อเทียบกับเพื่อนร่วมชั้นเรียน) แก้ปัญหายากๆ และยิ่งเป็นปัญหาเก่าแก่ที่ตั้งโดยนักฟิสิกส์อันดับต้นๆ ของโลกอย่างนิวตัน ยิ่งทำให้ชื่อเสียงของเรย์ดังในชั่วข้ามคืนเลยก็ว่าได้


“The Next Ramanujan”
Shouryya Ray


            อีกประเด็นที่น่าจับตามองคือ การกระจายข่าวเรื่องการแก้ปัญหาของเรย์สร้างผลกระทบที่ดี มันทำให้สังคมหันกลับมามองฟิสิกส์บ้าง (ถึงแม้จะเป็นช่วงเวลาเพียงข้ามคืนก็ตาม) การยกย่องนักเรียนที่มีศักยภาพถือเป็นสิ่งที่ดี และอาจเป็นแรงบันดาลใจให้เด็กรุ่นต่อไปได้ อีกปัญหาสำคัญที่ผู้อ่านอาจได้จากการอ่านบทความนี้ คือระบบการศึกษาของประเทศเรา ไม่เอื้อให้กับเด็กนักเรียนที่มีศักยภาพแบบเรย์ นักเรียนที่เก่งเกินหน้าเกินตาอาจารย์ผู้สอนอาจถูกมองว่าไม่มีกาลเทศะ ในสังคมระบบอุปถัมภ์เช่นนี้ คงเป็นเรื่องยากที่นักวิทยาศาสตร์รุ่นใหม่จะเจริญก้าวหน้าได้
สำหรับผู้อ่านที่สนใจการคำนวณ แนะนำให้ติดตามแนวคิดเบื้องต้นจากตอนท้ายของบทความนี้

 



หน้าที่ 3 - แนวคิดในการแก้สมการ

แนวคิดเบื้องต้นของปัญหาที่เกี่ยวข้อง

1.    แรงต้านอากาศเกิดขึ้นได้อย่างไร
แรงต้านอากาศ ส่วนหนึ่งเกิดจากแรงเสียดทานระหว่างผิวของวัตถุกับของไหลที่เป็นตัวกลาง เนื่องจากมีการไถลสัมพัทธ์กัน (กรณีนี้แรงต้านอากาศจะแปรตามกำลังหนึ่งของความเร็ว) และอีกกรณีเกิดจากการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ลากเอาโมเลกุลของตัวกลางติดไปกับการเคลื่อนที่ของมันด้วย แรงต้านอากาศจึงเกิดจากการถ่ายเทโมเมนตัมให้กับโมเลกุลของอากาศนั่นเอง (กรณีนี้จะแปรตามกำลังสอง) โดยทั่วไปแรงต้านแบบที่สองจะเกิดขึ้นเมื่อวัตถุเคลื่อนที่แหวกตัวกลางไปด้วยความเร็วสูงเท่านั้น
2.    การคำนวณกรณีที่แรงต้านอากาศแปรตามกำลังหนึ่งของอัตราเร็ว [ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} = - \alpha \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}]
    ในกรณีนี้เราสมมติว่าโดยโพรเจกไทล์มวล m ออกไปด้วยความเร็วต้น v0 ทำมุม θ กับแนวระดับจากจุดกำเนิด
                                      
 
    สมการการเคลื่อนที่คือ    m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} - \alpha \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} = m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a} \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{X}} - {\rm{axis}}\;;\; - \alpha \frac{d}{{dt}}x = m\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}x}\\{{\rm{Y}} - {\rm{axis}}\;;\; - \alpha \frac{d}{{dt}}y - mg = m\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}y} \end{array}} \right.

    โดยใช้แคลคูลัสนิดหน่อย เราสามารถหาตำแหน่ง (x,y) ที่เวลาใดๆ ได้

    x\left( t \right) = \frac{{m{v_0}\cos \theta }}{\alpha }\left( {1 - {e^{ - \frac{\alpha }{m}t}}} \right)\;,\;y\left( t \right) = \left[ {\frac{{m{v_0}\sin \theta }}{\alpha } + g{{\left( {\frac{m}{\alpha }} \right)}^2}} \right]\left( {1 - {e^{ - \frac{\alpha }{m}t}}} \right) - \frac{{mg}}{\alpha }t

    และสมการของ “วิถี (path)” ของการเคลื่อนที่ในระนาบดิ่ง (XY – Plane)

             {y\left( x \right) = \left( {\tan \theta + \frac{{mg}}{{\alpha {v_0}\cos \theta }}} \right)x + g{{\left( {\frac{m}{\alpha }} \right)}^2}\ln \left[ {1 - \left( {\frac{\alpha }{{m{v_0}\cos \theta }}} \right)x} \right]}

สมการข้างต้นนี้บอกเราว่า เราสามารถหาเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุออกมาได้แม่นๆ หากรู้เงื่อนไขตั้งต้นและสถานการณ์ทุกอย่าง เรย์คิดว่าสำหรับกรณีแรงต้านอากาศแบบแปรตามกำลังสองนั้น จะต้องมีสมการที่สามารถบรรยายเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุได้อย่างแน่นอน นี่เป็นที่มาของปัญหา

3.    การคำนวณกรณีที่แรงต้านอากาศแปรตามกำลังสองของอัตราเร็ว
    การวิเคราะห์ของเราเหมือนเดิมทุกประการ เพียงแต่เปลี่ยนแรงต้านอากาศจาก \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} = - \alpha \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}  เป็น  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} = - \beta {\left| {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} } \right|^2}\hat v

    สมการการเคลื่อนที่คือ         m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} - \beta {\left| {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} } \right|^2}\hat v = m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}

หรือในรูปองค์ประกอบ        
           {\rm{X}} - {\rm{axis}}\;;\; - \beta \left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)\sqrt {{{\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{d}{{dt}}y} \right)}^2}} = m\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}x

           {\rm{Y}} - {\rm{axis}}\;;\; - \beta \left( {\frac{d}{{dt}}y} \right)\sqrt {{{\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{d}{{dt}}y} \right)}^2}} - mg = m\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}y
 
สมการนี้แก้ได้ยาก และเป็นปัญหาสำหรับนักฟิสิกส์ – คณิตศาสตร์ มามากกว่า 350 ปี (นอกจากนี้ ยังมีประเด็นอื่นๆ ตามที่ได้กล่าวไว้ในบทความแล้ว) เรย์เสนอวิธีการแก้ปัญหาที่ง่าย โดยใช้เพียงความรู้แคลคูลัสพื้นฐาน เขาสามารถแสดงได้ว่าปริมาณ C นี้คงตัวตลอดการเคลื่อนที่

     C = \frac{g}{{{{\dot x}^2}}} + \frac{\beta }{m}\left[ {\frac{{\dot y}}{{\dot x}}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\dot y}}{{\dot x}}} \right)}^2}} + \ln \left\{ {\frac{{\dot y}}{{\dot x}} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\dot y}}{{\dot x}}} \right)}^2}} } \right\}} \right]    โดยที่ \dot x \equiv \frac{d}{{dt}}x\;,\;\dot y \equiv \frac{d}{{dt}}y
     
ความหมายของ C คือเราได้สมการของเส้นทางของความเร็วบนระนาบของปริภูมิความเร็ว (velocity space) แล้ว อย่างไรก็ดี นี่เป็นเพียงเส้นทางของความเร็ว หาใช้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุจริงไม่ เราต้องการสมการต่อไปเพื่อหาสมการเส้นทางในระนาบแบบที่ y = y(x) หรืออย่างน้อยที่สุด หาฟังก์ชันตำแหน่งที่ขึ้นกับเวลา x(t), y(t) เรย์ได้ทำปัญหาของเขาต่อไป และได้ผลคือ

 



     ฟังก์ชันนี้คือความเร็วของวัตถุที่เวลาใดๆ หากอินทิเกรตแบบเทอมต่อเทอมจะทำให้เราได้ฟังก์ชันของตำแหน่งที่ขึ้นกับเวลาทันที แต่สัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละเทอมของ tn ยังคงต้องใช้การวิเคราะห์ไปทีละเทอม

ส่งท้าย : การวิเคราะห์นี้ดูจะไม่เสร็จสมบูรณ์เสียทีเดียว และจำเป็นต้องได้รับการพัฒนาต่อไป แต่ผู้เขียนเห็นว่าเราควรขอบคุณเรย์ (และสื่อต่างๆ) ที่ทำให้สังคมของเราหันมาสนใจวิทยาศาสตร์ ถึงแม้มันจะเป็นเพียงข่าวให้ได้ฮือฮากันในช่วงเวลาสั้นๆ ก็ตาม

แหล่งอ้างอิง
–    http://www.prachachat.net/news_detail.php?newsid=1338167361
–    http://www.reddit.com/r/worldnews/comments/u7551/teen_solves_newtons_300yearold_riddle_an/
–    http://datelinenews.org/shourryya-ray-solution-to-350-year-old-isaac-newton-puzzle-on-search-by-physicists/99554
–    http://physics.stackexchange.com/questions/28931/what-are-the-precise-statements-of-the-problems-which-this-news-article-claims-h

ชูเกียรติ ตันติวงศ์ , นิสิตภาควิชาฟิสิกส์
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย



แสดงความคิดเห็น