วิชาการดอทคอม ptt logo

ลำดับและอนุกรม

โพสต์เมื่อ: 13:01 วันที่ 19 พ.ย. 2549         ชมแล้ว: 28,757 ตอบแล้ว: 25
วิชาการ >> กระทู้ >> ทั่วไป
รู้อะไรเขียนเข้ามาเยอะๆนะครับ


เด็กแนว(203.114.114.205,,)





จำนวน 22 ความเห็น, หน้าที่ | -1-
ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 12 ก.พ. 2550 (18:24)
ลำดับและอนุกรม



เรื่องลำดับและอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต



ลำดับ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

1. ลำดับจำกัด คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก เช่น

f = { ( 1,2),(2,3),(3,4), (4,5) } หรือจะเขียน 2 , 3 , 4 , 5 แทนลำดับนี้ก็ได้ (เขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์ทุกตัว)

g = { (1,g(1) ) ,(2,g(2) ) ,( 3,g(3) ) ,(4,g(4) ) } หรือจะเขียน g(1),g(2),g(3), แทนลำดับนี้ก็ได้

นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n และ ax = f(x)} คือลำดับ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n)หรือ

a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n และเรียกแต่ละค่าว่า พจน์ โดยเรียกพจน์ an = f(n) ว่าพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับ

สรุป 1. a1 เรียกว่าพจน์ที่1 , a2 เรียกว่าพจน์ที่2 , a3 เรียกว่าพจน์ที่3 , a4 เรียกว่าพจน์ที่4 , a n เรียกว่าพจน์ที่ n

2. ฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n และ ax = f(x)} คือลำดับ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n)หรือ

a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n เป็นลำดับจำกัด



2. ลำดับอนันต์ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n ,… และ ax = f(x)} คือลำดับอนันต์ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n),…หรือ

a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n ,…

พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด (an ) คือการแสดงว่าค่าแต่ละพจน์ของลำดับสัมพันธ์กับค่าของจำนวน 1,2,3,…..,n ตามลำดับ

อย่างไร เช่น

1. 2,4,6,8,10, = 2(1), 2(2) , 2(3), 2(4) , 2(5) ดังนั้น an = 2n

2. 3,5,7,9,11, = 2(1)+1, 2(2)+1 , 2(3)+1, 2(4)+1 , 2(5)+1 ดังนั้น an = 2n + 1

3. 2,4,8,16,32, = 21, 22 , 23, 24 , 25 ดังนั้น an = 2n

4. 1,2,5,12,27, = 21-1 , 22 - 2, 23 -3 , 24 -4 , 25 - 5 ดังนั้น an = 2n - n

หมายเหตุ พจน์ทั่วไปของลำดับที่กำหนดพจน์แรกๆมาให้จำนวนหนึ่งโดยไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม คำตอบจะมีได้มากกว่า 1 คำตอบ เช่น

1. 2 , 4 , 6,….. มี a n = 2n

2. 2 , 4 , 6 ,….. มี a n = 2n +(n-1)(n-2)(n-3)

3. 2 , 4 , 6, ….. มี a n = 2n + n(n-1)(n-2)(n-3)



เรื่องลำดับเลขคณิต



ลำดับเลขคณิต( Arithmetic Sequence ) คือลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จาก พจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า ผลต่างร่วม (Common Difference ) แทนด้วยสัญลักษณ์ d

จากความหมายของลำดับเลขคณิต ค่าของ d = an+1 - an , n = 1,2,3, ….. หรือ an+1 = an + d

นั่นคือ ถ้าพจน์ที่1 คิอ a1

พจน์ที่ 2 คือ a2 = a1+ d

พจน์ที่ 3 คือ a3= a2+ d = ( a1+ d ) + d = a1+ 2d

พจน์ที่ 4 คือ a4= a3+ d = ( a1+ 2d ) + d = a1+ 3d

พจน์ที่ 5 คือ a5= a4+ d = ( a1+ 3d ) + d = a1+ 4d









พจน์ที่ n คือ a n = + d = a1+ ( n – 1 )d



สรุป a n = a1+ ( n – 1 )d คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลข คณิต

ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 ) กับ ผลต่างร่วม (d )



ตัวอย่างที่1 จงเขียนลำดับเลขคณิตที่กำหนดค่า a1 และ d ให้ดัง ต่อไปนี้แบบแจกแจงพจน์ 5 พจน์แรก

1.1 a1 = 8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ 8,5,2,-1,-4

1.1 a1 = 8 และ d = 3 ได้ลำดับคือ 8, 11, 14,17 , 20

1.1 a1 = -8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ - 8,-11, -14,-17,-20



ตัวอย่างที่2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตต่อนี้ ( a n )

2.1 6,2,-2,-6,-10,….. จากสูตร a n = a1+ ( n – 1 )d ได้ a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n

2.2 -10, -6,-2,2,6….. จากสูตร a n = a1+ ( n – 1 )d ได้ a n = -10+(n-1)4 =-14 + 4n



ตัวอย่างที่3 จงหาพจน์ที่ 10 และ พจน์ที่ 12 ของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,-10,…..



วิธีทำ จากสูตร a n = a1+ ( n – 1 )d

ได้ a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n

ดังนั้ a 10 = 10 - 4(10) = 10 - 40 = - 30

a 12 = 10 - 4 ( 12 ) = 10 - 48 = - 38



เรื่องลำดับเรขาคณิต



ลำดับเรขาคณิต( Geometric Sequence )คือลำดับที่อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio ) แทนด้วยสัญลักษณ์ r นั่นคือ

r = หรือ r เมื่อ n I+

ถ้าพจน์ที่1 คือ a1 และ r คืออัตราส่วนร่วม

พจน์ที่2 คือ a2 = a1 r

พจน์ที่3 คือ a3 = a2 r = ( a1 r ) r = a1 r2

พจน์ที่4 คือ a4 = a3 r = ( a1 r2 ) r = a1 r3

พจน์ที่5 คือ a5 = a4 r = ( a1 r3) r = a1 r4











ดังนั้น พจน์ที่ n คือ a n = r = ( a1 rn-1) r = a1 rn-1



สรุป a n = a1 rn-1 คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต

ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 )กับ อัตราส่วนร่วม ( r )



ตัวอย่างที่ 1. 2 , 4 , 8 , 16 , ….. เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมคือ 2 ( คงที่ )

27 , 9 , 3 , 1, … เป็นลำดับเรขาคณิตเพราะมี่อัตราส่วนร่วมคือ .( คงที่ )

, , , ,…. เป็นลำดับเรขาคณิตเพราะมี่อัตราส่วนร่วมคือ ( คงที่ )

2 , 4 , -8 , 16 , ….. ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมไม่คงที่

2 , -4 , -8 , 16 , ….. ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมไม่คงที่



ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 5 , 10 และ พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 2 , 4 , 8 , 16 , …..

วิธีทำ r = 2 และจาก a n = a1 rn-1

ดังนั้น พจน์ที่5 คือ a5 = a1 r5-1 = 2( 2 )4 = 32



พจน์ที่10 คือ a11 = a1 r10-1 = 2( 2 )9 = 1,024



พจน์ที่n คือ an = a1 rn-1 2( 2 )n-1 = 2n







เรื่องอนุกรมและสัญลักษณ์การบวก

1. อนุกรม (Series ) คือ การบวกพจน์ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ และนิยมใช้สัญลักษณ์แทนการบวกด้วย อักษรกรีก คือ อ่านว่า ซิกมา ( Sigma )

เรียกอนุกรมที่ได้จากลำดับจำกัดว่า อนุกรมจำกัด และเรียกอนุกรมที่ได้จากลำดับอนันต์ว่า อนุกรมอนันต์

นั่นคือ a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n เป็นลำดับจำกัด จะได้อนุกรมจำกัดคือ a 1 + a 2 + a3 +…..+ a n =

อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i = 1 ถึง n ตามลำดับ ( i = 1,2,3,4,……,n )

a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n ,….. เป็นลำดับอนันต์ จะได้อนุกรมอนันต์คือ a 1 + a 2 + a3 +…..+a n +….. =

อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ขึ้นไปตามลำดับ ( i = 1,2,3,……..)

Note จะแทนอักษรภาษาอังกฤษตัวอื่นแทน i ก็ได้ เช่น ,

2. จากอนุกรม a 1 + a 2 + a3 +…..+ a n = และ a 1 + a 2 + a3 +…..+a n +….. =

เรียก a 1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม เรียก a 2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม

เรียก a3 ว่าพจน์ที่3 ของอนุกรม เรียก a n ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

3. อนุกรมจำกัดมีผลบวกที่แทนด้วยจำนวนจริงจำนวนหนึ่งที่หาค่าได้แน่นอน ส่วนอนุกรมอนันต์เนื่องจากไม่สามารถหาค่าของ พจน์สุดท้ายได้ จึงหาผลบวกไม่ได้ค่าที่แน่นอน เช่น 3.1 [ 2i + 1 ] = [2(1) +1] +[2(2)+1]+[2(3)+1]+[2(4)+1]

= 3+5+7+9 = 24

3.2 k2 = 12+22+32+42+52 = 1+4+9+16+25= 55

3.3 [ 2i +1] = [2(1) +1]+[2(2)+1]+[2(3)+1]+[2(4)+1] +….

= 3+5+7+9+…..

3.4 k2 = 12+22+32+42+52 +…….. = 1+4+9+16+25+…….

เรื่องอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเลขคณิต ทีมีผลต่างร่วม = d

ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต นั่นคือ sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an



การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเลขคณิต

จาก sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , d

sn = a1 + (a1 +d ) + ( a1 + 2d ) +……….+ [a1 +(n-1)d ] ………(1)

sn = [a1 +(n-1)d ] + [a1 +(n-2)d ] +[a1 +(n-3)d ] +……….+ a1 ………(2)



(1)+(2) 2 sn = [2a1 +(n-1)d ] + [2a1 +(n-1)d ] +……….+ [2a1 +(n-1)d ] จำนวน n พจน์



= n [2a1 +(n-1)d ]



ดังนั้น ........สูตรรูปแบบที่1



แต่เนื่องจาก 2 a1 = a1 + a1 และ an = a1 + (n-1)d นั่นคือ 2 a1 + (n-1)d = a1 + a1 + (n-1)d

= a1 + an

ดังนั้น ........สูตรรูปแบบที่2



ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2 + 7 + 12 + 17 + ........

วิธีทำ จากสูตร

N = 20 , a1 = 2 , d = 5

ดังนั้น S20= ……………………………. = 10(99) = 990 Ans.



ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มีพจน์ทั่วไปคือ an = 2n + 1

วิธีทำ จากสูตร

S20 = 10[ 3 + 41] = 440 Ans.



เรื่องอนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเรขาคณิต ทีมีอัตราส่วนร่วม = r

ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต นั่นคือ sn = a1+ a2+ a3+…..+ an

การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเรขาคณิต



จาก sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , r ดังนี้

sn = a1 + a1 r + a1 r2 + ……………+ a1 rn-1 ………(1)

rsn = a1r + a1 r2 + a1 r3 +..……………+ a1 rn ………(2)



(1)-(2) sn - rsn = a1 - a1 rn

( 1 – r ) sn = ( 1 – rn ) a1 = a1 ( 1 – rn )

ดังนั้นจะได้ว่า โดยที่ ค่าของ r 1



Note ถ้าค่าอัตราส่วนร่วม r = 1 จะได้ค่าของ Sn = na1





ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + ........

วิธีทำ จากสูตร ; a1 = 3 , r = 2 , n = 10

S10 = 3,069 Ans.

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + ........

วิธีทำ จากสูตร ; a1 = 4 , r = 2 , n = 8

S8 = 1,020 Ans.
patongko.na_rak@hotmail.com (IP:210.86.221.149)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 12 ก.พ. 2550 (21:37)
1 5 13 29 61 ... ? คือเลขอะไรครับ
เด็กอยากเข้าSMPม.1
ร่วมแบ่งปัน26 ครั้ง - ดาว 101 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 12 ก.พ. 2550 (23:31)
1 + 4 = 5



5 + 8 = 13



13 + 16 = 29



29 + 32 = 61



61 + 64 = 125
Mastermander
ร่วมแบ่งปัน3453 ครั้ง - ดาว 251 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 15 ก.พ. 2550 (19:23)
ขอบคุณนะคะ
yuya (IP:203.172.201.1)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 15 พ.ค. 2550 (19:52)
อยากได้เว็ปไซด์เกี่ยวกับลำดับและอนุกรมอะค่ะ คือว่าจะทามรายงานแล้วเนื้อหาน้อยมากอยากได้เนื้อหาแบบลเอียดอะค่ะ ช่วยหน่อนนะคะ
ammyja (IP:124.121.46.137)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 20 พ.ค. 2550 (15:08)
http://www.vcharkarn.com/include/vcafe/showkratoo.php?Pid=91767



กระทู้ข้างเคียงครับมีทั้งเนื้อหาทั้งโจทย์ทั้งเฉลยครบครับ
Timestopper_STG
ร่วมแบ่งปัน1918 ครั้ง - ดาว 284 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 11 มิ.ย. 2550 (15:27)
ผมเพิ่งเข้ามาครั้งแรกเหมือนกัน เพิ่งเจอนี่แหละ เยี่ยมมาก
koriko GZ (IP:124.157.229.68)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 11 มิ.ย. 2550 (15:35)
พวกเราเหล่าสมาชิก GZ ทุกคนขอน้อมรับความรู้ทั้งหมดอย่างเต็มใจ พยายามพัฒนาต่อไปนะครับ
GZ (IP:124.157.229.68)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 11 มิ.ย. 2550 (20:23)
1+2+3+...........+n = (n+1)(n) ทั้งหมดหารด้วย 2
กลศาสตร์ piutonium1234 (IP:124.157.181.130)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 11 มิ.ย. 2550 (20:26)
10-1000 มีจำนวนพจน์ที่หารด้วย7ลงกี่ตัว (ถามไปงั้นเเหละ)
คนอยากถาม (IP:203.172.60.237)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 21 มิ.ย. 2550 (18:25)
คณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยาก และ คณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องง่าย

อยู่ที่ความเข้าใจและการฝึกฝน ขยันทำโจทย์บ่อยๆ

แล้วคุณก็จะรู้ว่าคณิตศาสตร์ยากหรือง่าย
Dawhang (IP:124.157.205.141)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 13 ก.ค. 2550 (12:55)
อยากได้โจทย์ กับคำตอบมาทำรายงานอะมีป่าวอะคัฟฟฟฟ
ไม่บอก (IP:125.24.241.215)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 19 ก.ค. 2550 (11:56)
ขอบคุณที่ให้ Copy
momotaro (IP:203.172.215.226)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 24 ก.ค. 2550 (20:34)
อยากเขียนมั่งง่ะ ซ้ำได้หรือเปล่าครับ
หมอกควัน
ร่วมแบ่งปัน48 ครั้ง - ดาว 150 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 3 ส.ค. 2550 (16:05)
อยากทราบสมการติดค่า n ว่า an = ?

เมื่อ a1 = 5

an+1 = (an-1)/2



ช่วยตอบด้วยนะคะ
dada' (IP:58.10.125.67)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 13 ก.ย. 2550 (10:44)
มีแต่สูตร ตัวอย่างก็ไม่เห็นมีแบบนีถ้าคนไม่รู้เรื่องมาอ่านจะเข้าใจได้อย่างไร
angang_27@hotmail.com (IP:203.172.159.150)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 2 ม.ค. 2551 (22:22)
จงหาพจน์ทั่วไปของ 1/12,1/6,1/3,..........

ทำให้หน่อยดิค่ะทำไม่เป็น ขอด่วนนะ
งิ้ม (IP:124.120.207.98)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 10 ม.ค. 2551 (13:18)
ช่วยแต่งข้อสอบหน่อยได้หมัยคะ 50 ข้ออ่ะ แต่งไม่เป็นค่ะ
pen.tum_343@hotmail.com (IP:61.7.174.169)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 10 ม.ค. 2551 (14:16)
#18

displaystyle{a_{n}=frac{2^{n}}{24}}

#19

ลองหาดูในเว็บนี้สิครับมีเป็นหมื่น ๆ แสน ๆ ข้อเลยไม่ต้องเสียเวลาด้วยครับ
Timestopper_STG
ร่วมแบ่งปัน1918 ครั้ง - ดาว 284 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 21 20 ม.ค. 2551 (23:01)
O-O
จิงไจ
ร่วมแบ่งปัน915 ครั้ง - ดาว 22 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 22 2 มิ.ย. 2551 (22:08)

ohohappy


james (IP:58.8.88.112)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 23 13 มิ.ย. 2551 (21:40)
<P>ใครมีสูตรลำดับและอนุกรมแบบครบสูตรช่วยบอกกันด้วยนะคะ</P>

<P>&nbsp;</P>
yam_sk08@hotmail.com (IP:202.91.19.194)

จำไว้ตลอด

ความเห็นเพิ่มเติม วิชาการ.คอม
ชื่อ / email:
ข้อความ

กรุณาล๊อกอินก่อน เพื่อโพสต์รูปภาพ และ ใช้ LaTex ค่ะ สมัครสมาชิกฟรีตลอดชีพที่นี่
กรอกตัวอักษรตามภาพ
ตัวช่วย 1: CafeCode วิธีการใช้
ตัวช่วย 2: VSmilies วิธีการใช้
ตัวช่วย 3: พจนานุกรมไทย ออนไลน์ ฉบับราชบัณฑิต
ตัวช่วย 4 : dictionary ไทย<=>อังกฤษ ออนไลน์ จาก NECTEC
ตัวช่วย 5 : ดาวน์โหลด โปรแกรมช่วยพิมพ์ Latex เพื่อแสดงสมการบนวิชาการ.คอม